Entropie-Index und Approximation für Lipschitz-Algebren

Abstract

Wir führen mit dem Konzept der Lipschitz-Algebra beziehungsweise des kompakten quantenmetrischen Raumes und dem Konzept der W-Stern-Derivation Möglichkeiten ein, kompakte metrische Räume funktionalanalytisch zu beschreiben. Dies geschieht mit Hilfe von unitalen C-Stern- beziehungsweise W-Stern-Algebren, auf denen eine Halbnorm beziehungsweise eine Derivation die Rolle der Lipschitz-Halbnorm und damit der Metrik im kommutativen Fall übernimmt. Beide Konzepte vergleichen wir ausgiebig.

Für Lipschitz-Algebren beziehungsweise kompakte quantenmetrische Räume als "nicht-kommutative kompakte metrische Räume" gelingt es uns, mit Hilfe von Stern-Homomorphismen in endlichdimensionale C-Stern-Algebren einen Dimensionsbegriff zu formulieren, der im kommutativen Fall den auf Kolmogorov und Tihomirov zurückgehenden Dimensionsbegriff des (unteren) Entropie-Index liefert. Die eben genannten Homomorphismen benutzen wir, um die ursprüngliche Lipschitz-Algebra als inversen Limes einer inversen Folge von endlichdimensionalen Lipschitz-Algebren zu rekonstruieren. Alle Begriffe und Vorgehensweisen werden ausführlich anhand von Beispielen illustriert.

Im zweiten Teil der Arbeit deuten wir für den Fall kommutativer Lipschitz-Algebren an, wie die bisherige Vorgehensweise abzuändern ist, falls wir anstelle von Stern-Homomorphismen in endlichdimensionale C-Stern-Algebren nun vollständig positive, unitale und isometrische Abbildungen in umgekehrter Richtung betrachten. Eine funktionalanalytische Beschreibung des unteren Entropie-Index existiert auch in diesem Falle. An die Stelle des inversen Limes bisher tritt nun der direkte Limes, mit dessen Hilfe es uns gelingt, die lipschitzstetigen Funktionen auf kompakten metrischen Räumen zu beschreiben.

Schließlich betrachten wir rein topologische, kompakte, separable Hausdroff-Räume ohne Metrik, welche wir mittels inversem Limes, genauer als Quotient eines inversen Limes von endlichen diskreten Hausdorff-Räumen in der Kategorie topologischer Räume darstellen können. Dual dazu gelingt uns eine Beschreibung kommutativer unitaler C-Stern-Algebren als C-Stern-Unteralgebren von AF-Algebren.

With the concept of Lipschitz algebras or compact quantum metric spaces and the concept of W-star-derivations we introduce possibilities to describe in a functional analytical way compact metric spaces. We use unital C-star-algebras or W-star-algebras and seminorms or derivations on star-subalgebras which generalize the Lipschitz seminorm and therefore the metric in the commutative case. We compare both concepts.

Our thesis consists of two parts. In the first part we can attach a fractal dimension to a (generally) non-commutative Lipschitz algebra by the means of star-homomorphisms into finite dimensional C-star-algebras, and in the commutative case this dimension agrees with the lower entropy index (of the underlying compact metric space) tracing back to Kolmogorov and Tihomirov. We consider how to use a sequence of such star-homomorphisms to reconstruct the original Lipschitz algebra as the inverse limit of an inverse sequence of finite dimensional Lipschitz algebras. The ideas and proceedings are illustrated by examples.

In the second part we indicate how to change the previous proceedings for Lipschitz algebras, using completely positive, unital and isometric maps with finite dimensional C-star-algebras as source instead of star-homomorphisms with finite dimensional C-star-algebras as range as we did in the first part. A functional analytic description of the lower entropy index similarly exists in this case of inverting the directions of the connecting maps. Now the direct limit takes the place of the inverse limit used so far, and by means of the direct limit we succeed in describing the Lipschitz function on compact metric spaces.

Finally we consider pure topological, compact, separable Hausdorff spaces without metric, and we can represent them by the aid of an inverse limit, or more precisely, as the quotient of the inverse limit of finite and discrete Hausdorff spaces in the category of topological spaces. Dually we find a description of commutative unital C-star-algebras as C-star-subalgebras of asymptotically finite C-star-algebras (AF-algebras).