Convection-diffusion models for competition and segregation in granular material

Abstract

In the present thesis we analyze and compare competition models in the form of so-called convection-diffusion partial differential equations and apply the results in the field of granular matter research. The qualitative theory of so-called reaction-diffusion equations is well developed, since these models generally describe the interaction between different species in combination with their dispersion and propagation. In comparison, the convection-diffusion approach we opt for seems relatively novel. While the corresponding systems of equations are in close relation to the theory of viscosity solutions for conservation laws, we develop an independent, self-contained theory. Our main goal is to legitimate the application of such models especially to phenomena observed in stirred or shaken granular material and to analyze the mathematical properties.

Inhalt dieser Arbeit sind die Untersuchung und der Vergleich von Wettbewerbsmodellen in Form sogenannter Konvektions-Diffusions-Gleichungen und ihre Anwendung vorwiegend im Bereich der granularen Medien. Während die qualitative Theorie der Reaktions-Diffusions-Gleichungen gut entwickelt ist, da diese als Modelle immer da auftreten, wo Interaktionen zwischen verschiedenen Spezies zusammen mit Ausbreitungsvorgängen untersucht werden, erscheinen die hier betrachteten Systeme von Konvektions-Diffusions-Gleichungen als recht neuartig. Sie stehen in enger Verbindung mit Viskositätsansätzen für Erhaltungsgleichungen, werden hier aber als eigenständige Systeme untersucht. Das Ziel der Arbeit ist es, diese Gleichungen als Modelle für Phänomene insbesondere bei granularen Medien zu rechtfertigen, z.B. durch Übergang von Partikelsystemen, und ihre mathematischen Eigenschaften zu untersuchen.