Diskriminanten, Differenten und Steinitzklassen relativer Zahlkörper

Abstract

Der Ring der ganzen Zahlen A=R_K eines algebraischen Zahlkörpers K ist ein Dedekindring und als Z-Modul frei vom Rang [K:\Q ]. Betrachtet man relative Erweiterungen L|K von Zahlkörpern, so ist der Ring ganzer Zahlen B=R_L in L als A-Modul im Allgemeinen nicht frei. Nach Steinitz ist der Ring B als A-Modul charakterisiert durch den Rang [L:K] und die sogenannte Steinitzklasse s_A(B), einem Element in der Idealklassengruppe Cl_K von K. Die Steinitzklasse s_A(B) ist genau dann trivial, wenn B frei über A ist. Man sagt, es existiert eine relative Ganzheitsbasis. Es ist bekanntlich s_A(B)^2=[\delta _{L|K}] die Idealklasse der relativen Diskriminante von L|K. Wenn es eine relative Ganzheitsbasis gibt, so muss also die Diskriminante ein Hauptideal sein. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, denn selbst im unverzweigten Fall, wo die Diskriminante \delta _{L|K}=1 trivial ist, gibt es im Allgemeinen keine relativen Ganzheitsbasen. Im ersten Hauptsatz dieser Arbeit zeigen wir, dass die Steinitzklasse von L|K genau dann nicht-trivial ist, wenn es eine eindeutig bestimmte quadratische Teilerweiterung F|K von L|K gibt, deren Steinitzklasse ebenfalls ungleich 1 ist. Desweiteren beweisen wir, dass eine relative Ganzheitsbasis einer unverzweigten quadratischen Erweiterung immer von einem Element erzeugt werden kann, also eine sogenannte ganze Potenzbasis existiert. Nach einem tiefliegenden Satz von Hecke ist die Differente bzw. deren Klasse [D_{L|K}] in der Idealklassengruppe von L ebenfalls ein Quadrat. Diese Aussage für die Differente gilt, im Gegensatz zur analogen Aussage für die Diskriminante, nicht in beliebigen Dedekindringen, aber in den Ringen ganzer Zahlen algebraischer Zahlkörper, wie Fröhlich, Serre und Tate zeigen konnten. Eine Wurzel der Klasse der Diskriminante kann ausgezeichnet werden und hat eine zahlentheoretische Interpretation, nämlich die Steinitzklasse. Zentral in dieser Arbeit ist die Frage, ob eine Quadratwurzel der Klasse der Differente [D _{L|K}] ausgezeichnet und somit zahlentheoretisch interpretiert werden kann. Daher suchen wir nach einer Quadratwurzel von [D _{L|K}], die unter der Norm auf die Steinitzklasse s_A(B) abgebildet wird. Eine solche Idealklasse in L nennen wir eine Steinitzwurzel für L|K. Leider gibt es nicht immer eine Steinitzwurzel. Für Erweiterungen ungeraden Grades können wir jedoch die Existenz einer Steinitzwurzel nachweisen. Sie ist sogar Galois-invariant, wenn die Erweiterung zusätzlich galoissch ist. Im zweiten Hauptsatz leiten wir hinreichende Kriterien zur Existenz von Steinitzwurzeln in beliebigen Galoiserweiterungen algebraischer Zahlkörper her. Abschliessend widmen wir uns dem Studium von Iwasawa-Erweiterungen, genauer den zyklotomischen Z_2-Erweiterungen imaginär quadratischer Zahlkörper. Hier gelingt es uns, die Steinitzklasse jeder relativen (endlichen) Teilerweiterung exakt zu beschreiben. Die Beweisidee beruht auf der von Artin und Hasse in den 1930er Jahren entwickelten Diskriminanten-Führer-Formel. Die exakte Beschreibung der Steinitzklassen liefert desweiteren die Existenz einer Galois-invarianten Steinitzwurzel in jeder relativen (endlichen) Teilerweiterung. Verallgemeinerungen auf beliebige abelsche Zahlkörper scheinen möglich.

The ring of integers A=R_K of an algebraic number field K is a Dedekind domain and viewed as a Z-modul free of rank [K:\Q ]. In relative extensions of number fields L|K the ring of algebraic integers B=R_L in L is, viewed as an A-modul, in general not free. Following Steinitz the ring B is as an A-modul determined by its rank [L:K] and the so-called Steinitz class s_A(B), which is an element in the ideal class group Cl_K of K. The Steinitz class s_A(B) is trivial if and only if B is a free A-modul, which means that a relative integral basis exists. It is well known that s_A(B)^2 is the class of the relative discriminant [\delta _{L|K}] of L|K. If a relative integral basis exists then the discriminant must be a principal ideal. But this condition is not sufficient. In unramified extensions, where we have a trivial discriminant \delta _{L|K}=1 , a relative integral basis does not exist in general. The first theorem of this thesis shows that the Steinitz class of an unramified extension L|K is not trivial if and only if there is a unique quadratic intermediate extension F|K in L|K whose Steinitz class is not trivial, either. In addition we prove that a relative integral basis of an unramified quadratic extension can always be generated by a single element, that is, a so-called power integral basis exists. According to a deep theorem of Hecke the different, respectively its ideal class [D_{L|K}] is a square in the ideal class group of L, likewise. This statement for the different is - in contrast to the analogy for discriminants - not true in arbitrary Dedekind domains but in rings of integers in algebraic number fields, as Fröhlich, Serre and Tate have shown. A root of the class of the discriminant can be distinguished and has a number theoretical interpretation, namely the Steinitz class. The main question in my thesis is if a square root of the class of the different [D_{L|K}] can be distinguished and so be interpreted number theoretically. Therefore we look for a square root of [D _{L|K}] whose image under the norm mapping is the Steinitz class s_A(B). We call such an ideal class in L a Steinitz root for L|K. Unfortunately such a Steinitz root does not exist in general. However, for extensions with odd degree we proof the existence of a Steinitz root. If in addition such an extension is Galois then the Steinitz root is even Galois-invariant. In the second theorem we derive sufficient conditions for the existence of a Steinitz root in arbitrary Galois extensions of algebraic number fields. Finally we turn our attention to the study of Iwasawa extensions, more precisely the study of the cyclotomic Z_2-extensions of imaginary quadratic number fields. Here we succeed in describing exactly the Steinitz class of every (finite) intermediate relative extension. The idea of the proof is based on the discriminant-conductor-formula which was developped by Artin and Hasse in the 1930s. The exact description of the Steinitz classes provides the existence of a Galois-invariant Steinitz root in every intermediate extension. Generalisations on arbitrary abelian number fields seem to be possible.