Numerical Simulations of Disk-Planet Interactions

Abstract

The aim of this dissertation is to study the dynamical interactions occurring between a forming planet and its surrounding protostellar environment. This task is accomplished by means of both two- and three-dimensional numerical simulations. In order to render the proper development of the work, results from such calculations are presented according to the same temporal order they were achieved.

The first part of my research plan concerned global simulations in three dimensions. These were intended to investigate the large-scale effects caused by a Jupiter-size body still in the process of accreting matter from its neighborhood. For the first time, this problem was tackled in a three-dimensional space. The computations are global in the sense that they embrace a whole portion of circumstellar disk, extending over a radial distance interval of eleven astronomical units. For computational reasons, we relied on a local-isothermal equation of state to describe the thermal properties of disk material. Simulations show that, despite a density gap forms along the orbital path, Jupiter-mass protoplanets still accrete at a rate on the order of 0.01 Earth's masses per year when they are embedded in a disk whose mass, inside twenty-six astronomical units, is 0.01 solar masses. In the same conditions, the migration time scale due to gravitational torques by the disk is around one hundred thousand years. These outcomes are in good agreement with previous assessments obtained from two-dimensional calculations of infinitesimally thin disks as well as from linearized analytical theories of disk-planet interaction. The global approach is the most rigorous way of treating planets in disks because it avoids making simplified assumptions on the propagation of the perturbations induced by the embedded body. Yet, this approach usually prevents from attaining numerical resolutions necessary to inquire into the local effects of disk-planet interactions and to handle those arising from Earth-mass objects. The second part of my work was dedicated to overcome this restriction by employing a nested-grid technique within the frame of the two-dimensional approximation. The method allows to perform global simulations of planets orbiting in disks and, at the same time, to resolve in great detail the dynamics of the flow inside the Roche lobe of both massive and low-mass planets. Therefore, it was applied to planetary masses ranging from one Jupiter-mass to one Earth-mass. In each case, the high resolution supplied by the nested-grid technique permits an evaluation of the torques, resulting from short and very short range gravitational interactions, more reliable than the one previously estimated with the aid of numerical methods. Likewise, the mass flow onto the planet is computed in a more accurate fashion. Resulting migration time scales are in the range from roughly twenty thousand years, for intermediate mass planets, to a million years, for very low as well as high-mass planets. Growth time scales depend strongly on the protoplanet's mass. Above 64 Earth-masses, this time scale increases as the 4/3-power of the planet's mass. Otherwise it raises as the 2/3-power, occasionally yielding short lengths of time because of the two-dimensional geometry. Circumplanetary disks form inside of the Roche lobe of Jupiter-size secondaries. Its azimuthally-averaged rotational velocity is nearly Keplerian, though it becomes sub-Keplerian as the mass of the perturber is decreased. In contrast, a hydrostatic envelope builds up around a one Earth-mass object. As a natural evolution, the nested-grid strategy was implemented in three dimensions. In order to evaluate the consequences of the flat geometry on the local flow structure around planets, simulations were carried out to investigate a range of planetary masses spanning from 1.5 Earth's masses to one Jupiter's mass. Furthermore, in such calculations protoplanets were modeled as extended structure and their envelopes were taken into account through physically realistic gravitational potentials of forming planets. Outcomes show that migration rates are relatively constant when perturbing masses lie above approximately a tenth of the Jupiter's mass, as prescribed by Type~II migration regime. In a range between seven and fifteen Earth's masses, it is found a dependency of the migration speed on the planetary mass that yields time scales considerably longer than those predicted by linear analytical theories. Type~I migration regime is well reproduced outside of such mass interval. The growth time scale is minimum around twenty Earth-masses, but it rapidly increases for both smaller and larger mass values. With respect to accretion and migration rates, significant differences between two- and three-dimensional calculations are found in particular for objects with masses smaller than ten Earth-masses. The flow inside the Roche lobe of the planet is rather complex, generating spiral perturbations in the disk midplane and vertical shocks in the meridional direction. Recirculation is also observed in many instances. The final part of this work was dedicated to the simulation of non-local isothermal (i.e., radiative) models. Hence, with such calculations the locally isothermal hypothesis was relaxed and for the first time the full thermo-dynamics evolution of the system could be modeled. Since the complexity of the problem does not allow a detailed description of all the energy transport mechanisms, we use a simplified but physically significant form of the energy equation, by restricting to two-dimensional computations. Different temperature regimes are examined, according to the magnitude of the fluid kinematic viscosity. The gap structure was found to depend on the viscosity regime, and only cold environments offer the right conditions for a wide and deep gap to be carved in. The temperature profile inside the circumplanetary disk falls off as the inverse of the distance from the planet. Clockwise rotation is established around low-mass non-accreting planets, because of large pressure gradients. As for migration and accretion, estimates are generally on the same order of magnitude as those acquired with the aid of local isothermal models. Since the gap is generally filled in the high-viscosity case, Type I migration regime might extend to larger planetary masses.

Lo scopo di questa tesi e' lo studio delle interazioni dinamiche che si verificano tra un pianeta in fase di formazione e l'ambiente circostante. A tal fine sono state eseguite simulazioni numeriche in due e tre dimensioni. Per meglio rendere il percorso di questo lavoro, i risultati ottenuti sono presentati in ordine cronologico. La prima parte di questo piano di ricerca ha riguardato simulazioni globali in tre dimensioni. Esse hanno avuto lo scopo di analizzare gli effetti, su larga scala, causati da un corpo di massa gioviana che sia ancora in una fase di accrescimento. Tale problema e' stato affrontato per la prima volta in uno spazio a tre dimensioni. Queste simulazioni sono dette ''globali'' perche' comprendono una porzione di disco protostellare che si estende per 360 gradi intorno alla stella e su un intervallo di distanze (dalla stella) di undici unita' astronomiche. Per motivi legati alla risoluzione numerica del problema, le proprieta' termodinamiche del mezzo protostellare sono state descritte da una equazione di stato che suppone che il sistema sia isotermo localmente. Nonostante si assista alla formazione di un solco lungo l'orbita planetaria, ossia di una regione con bassa densita' di materia, il pianeta continua ad aumentare la propria massa ad un ritmo di 0.01 masse terrestri all'anno, nella ipotesi in cui la massa racchiusa in 26 unita' astronomiche sia pari a 0.01 masse solari. In queste medesime condizioni, la scala di tempi con cui il pianeta migra verso la stella, a causa del momento della forza gravitazionale esercitata dal disco protostellare, si aggira intorno alle centinaia di migliaia di anni. Tali risultati sono in buon accordo con le stime ottenute in precedenza attraverso modelli numerici bidimensionali e teorie analitiche, in regime lineare, dell'interazione gravitazionale tra un pianeta ed un disco protostellare. Un approccio di tipo globale rappresenta la maniera piu' rigorosa di descrivere dischi protostellari contenenti pianeti, in quanto permette di evitare ipotesi troppo semplicistiche sulla propagazione delle perturbazioni indotte dal pianeta stesso. Tuttavia, l'approccio di tipo globale solitamente limita drasticamente la risoluzione numerica e cio' non consente di indagare sugli effetti locali dell'interazione disco-pianeta oltre che su quelli generati da un corpo di massa terrestre. La seconda parte del mio lavoro e' stato dedicata ad aggirare questo tipo di restrizione attraverso l'utilizzo di una tecnica numerica nota col nome di ''griglie annidate''. Tale tecnica e' stata applicata, come primo passo, a simulazioni bidimensionali. Questo metodo permette di eseguire simulazioni globali di pianeti che orbitano in dischi protostellari e, contemporaneamente, di risolvere in dettaglio la dinamica del sistema all'interno del lobo di Roche del pianeta. Cio' puo' essere fatto sia per pianeti massicci sia per quelli di piccola massa. Percio' la tecnica e' stata applicata in un intervallo di masse che va da 1 massa terrestre ad 1 massa gioviana. In ciascun caso, l'alta risoluzione ottenuta con le griglie annidate ha consentito una valutazione del momento gravitazionale, dovuto ad interazioni su breve e brevissima scala, piu' accurata di quella precedentemente ottenuta con l'aiuto di altri metodi numerici. Similmente, anche il flusso di materia sul pianeta e' calcolato in una maniera piu' accurata. I tempi scala per la migrazione sono compresi tra circa ventimila anni, per pianeti di massa intermedia, ed un milione di anni, per pianeti di piccola e grande massa. I tempi scala per la crescita dipendono fortemente dalla massa del pianeta. Al di sopra di 64 masse terrestri, tali tempi crescono come la massa del pianeta elevata ad una potenza pari a 4/3. Per masse piu' piccole la potenza si riduce a 2/3. E' stato inoltre appurato che dischi si formano all'interno del lobo di Roche di protopianeti di massa gioviana. La velocita' media di rotazione di tali dischi e' prossima a quella kepleriana, sebbene diventi sub-kepleriana per pianeti di massa minore. Invece, intorno a pianeti di massa terrestre, tende a formarsi una atmosfera in equilibrio idrostatico. Il passo successivo e' stato quello di implementare il metodo delle griglie annidate in tre dimensioni. Al fine di valutare quali siano le consequenze dell'approssimazione bidimensionale sulle strutture locali intorno ai protopianeti, sono state eseguite simulazioni con corpi di 1.5 masse terrestri fino a 1 massa gioviana. Inoltre, in queste simulazioni il protopianeta e' stato modellato come una struttura estesa e la sua atmosfera e' stata approssimata con l'ausilio di appropriati potenziali gravitazionali. I risultati mostrano che il tasso di migrazione e' relativamente costante quando il pianeta ha una massa maggiore di un decimo di quella di Giove, cosi' come previsto dalla migrazione di Tipo II. Tra 7 e 15 masse terrestri si ottengono tempi scala per la migrazione che sono molto piu' lunghi di quelli ottenuti attraverso teorie analitiche lineari. Esternamente a questo intervallo di masse, il regime di migrazione di Tipo I viene riprodotto molto bene. Il tasso di crescita e' massimo intorno a venti masse terrestri, tuttavia esso diminuisce drasticamente tanto verso masse minori quanto verso masse maggiori. Per quel che concerne i tempi di migrazione e di crescita, i modelli bidimensionali e tridimensionali differiscono sostanzialmente quando si considerano pianeti con massa piu' piccola di 10-20 masse terrestri. La circolazione all'interno del lobo di Roche del pianeta e' piuttosto complessa, con la formazione di perturbazioni a spirale nel piano mediano del disco e di onde d'urto perpendicolarmente a quest'ultimo. La parte finale di questo lavoro e' stata dedicata a simulazioni che non fossero localmente isoterme. Percio' esse hanno consentito di ottenere un quadro termodinamico completo del sistema. Dal momento che la complessita' del problema non permette una descrizione troppo dettagliata di tutti i meccanismi di trasporto di energia all'interno del disco protostellare, alcune semplificazioni sono state adottate nello scrivere l'equazione del bilancio energetico. Inoltre, per ridurre ulteriormente i tempi di calcolo, sono state eseguite simulazioni solo in 2 dimensioni. Variando il valore del coefficiente di viscosita' sono stati esaminati diversi regimi di temperatura. La struttura del solco nella distribuzione di massa aperto dal pianeta dipende dalla viscosita' del fluido. Inoltre, solo un mezzo relativamente freddo offre le condizioni necessarie affinche' un solco largo e profondo possa essere generato. Il profilo di temperatura del disco che si forma intorno a pianeti di massa gioviana decade come l'inverso della distanza dal pianeta. Nel caso di pianeti che non sottraggono massa dall'ambiente circostante, la circolazione del materiale procede in senso orario a causa dell'elevato gradiente di pressione. Per quel che concerne la velocita' di migrazione ed il tasso di accrescimento, le stime sono piuttosto consistenti con quelle ricavate da modelli localmente isotermi. Dal momento che il solco nella distribuzione di massa e' molto poco accentuato nel caso di alti valori di viscosita', e' possibile che la migrazione di Tipo I si estenda anche a pianeti di massa piu' grande di quanto sia generalmente assunto. Per tale motivo la velocita' di migrazione potrebbe essere ulteriormente ridotta.