Nichtlokale Cauchyprobleme und Verzögerungsgleichungen

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir Cauchyprobleme für Differentialgleichungen mit nichtlokalen Anfangsbedingungen und Cauchyprobleme für abstrakten Differentialgleichungen mit unendlicher Verzögerung. In Kapitel 1 erhalten wir solche Ergebnisse für semilineare Integrodifferentialgleichungen, die bekannte Resultate aus [14, 17, 61, 70] wesentlich verallgemeinern. Dies wird an Beispielen aus der Wärmeleitungsgleichung in Materialien mit Gedächtnis gezeigt. In Kapitel 2 wird diese Untersuchung für semilineare Evolutionsgleichungen weitergeführt. Mit Hilfe zulässiger Paare erhalten wir neue Existenzresultate für milde und klassische Lösungen. Im dritten Kapitel untersuchen wir Cauchyprobleme für vier Klassen abstrakter Funktionaldifferentialgleichungen in Banachräumen mit unendlicher Verzögerung. Eine Reihe neuer Resultate erhalten wir mit Hilfe von Nichtkompaktheitsmassen und Kamke-Funktionen oder Lipschitz-Bedingungen. In Kapitel 4 beweisen wir Regularitätseigenschaften der Lösungen, falls der Banachraum die Radon-Nikodym Eigenschaft besitzt. Kapitel 5 enthält eine Untersuchung der Wohlgestelltheit abstrakter Funktionaldifferentialgleichungen und nichtautonomer semilinearer Funktional-Evolutionsgleichungen mit unendlicher Verzögerung in beliebigen Banachräumen. Unter der Annahme, dass der nichtlineare Term Frechetdifferenzierbar ist, erhalten wir Verallgemeinerungen von Ergebnissen von [3, 8, 13, 22, 23, 35, 36, 45, 46, 48, 51, 58, 59, 71, 77, 78, 84, 86, 87]. Die Wohlgestelltheitresultate für nichtautonomen Cauchyprobleme ist ganz neu.

In this work, we investigate the Cauchy problem for differential equations with nonlocal initial conditions and the Cauchy problem for abstract functional equations with infinite delay. In Chapter 1, under general and natural hypotheses, we establish some new theorems about the existence and uniqueness of solutions for the nonlocal Cauchy problem for semilinear integro-differential equations. As a consequence, we unify and extend the corresponding theorems given in [14, 17, 61, 70] for the Cauchy problem for differential equations or integrodifferential equations with nonlocal initial conditions. In Chapter 2 we prove certain nonlinear convolution integral equations in Banach spaces, to which the existing related results did not apply, to possess continuous solutions. As applications, new existence and uniqueness theorems for mild and classical solutions of nonlocal Cauchy problems for semilinear evolution equations are obtained. In Chapter 3 we consider mainly the solvability of the Cauchy problem for four classes of abstract functional equations with infinite delay. A series of new results are established with the help of noncompactness measures and Kamke functions or the Lipschitz condition. Chapter 4 concerns with the regularity for a functional differential equation with infinite delay in a Banach space satisfying the Radon-Nikodym property. In Chapter 5 we study the wellposedness of the Cauchy problems for a semilinear functional differential equation and a nonautonomous semilinear functional equation with infinite delay in a general Banach space, when the nonlinear term is Frechet differentiable. In Section 1, we set up a wellposedness result on the former one (autonomous case), which generalizes the corresponding results in [3, 8, 13, 22, 23, 35, 36, 45, 46, 48, 51, 58, 59, 71, 77, 78, 84, 86, 87]. Section 2 is devoted to the nonautonomous case. The wellposedness result given there is new even for the finite delay case.