Elementare Abschätzungen für prime quadratische Reste und Nichtreste

Abstract

Zu einer vorgegebenen Primzahl p wird die kleinste Primzahl q>2 gesucht, die quadratischer Nichtrest bzw. Rest modulo p ist. Aufbauend auf Ideen von Trygve Nagell, verfolgt die Arbeit das Ziel, mit elementaren Mitteln möglichst gute obere Abschätzungen für q anzugeben. Es wird bewiesen, daß der kleinste quadratische Nichtrest q kleiner als Wurzel p ist. Der Fall des kleinsten quadratischen Rests ist viel komplizierter: Es wird bewiesen, daß der kleinste Rest q genau dann kleiner als Wurzel p ist, wenn die Klassenzahl h(-p) binärer quadratischer Formen mit Diskriminante -p größer als 1 ist. Außerdem wird ein Zusammenhang zum Klassenzahl-1-Theorem von Heegner-Baker-Stark hergestellt: Nach einem Lemma von Nagell gilt h(-p)=1 genau dann, wenn alle Primzahlen kleiner (p+1)/4 quadratische Nichtreste modulo p sind. Da p=163 bekanntlich die größte Primzahl mit h(-p)=1 ist, hätte man einen elementaren Beweis des Klassenzahl-1-Theorems, wenn man für alle Primzahlen p>163 ohne Klassenzahl-Bedingung zeigen könnte, daß der kleinste prime quadratische Rest q modulo p kleiner als (p+1)/4 ist. Dafür gibt es zwei elementare Lösungsansätze: 1. Man versucht zu zeigen, daß bestimmte Polynome - z. B. das Euler-Rabinowitsch-Polynom - in einem bestimmten Bereich nicht nur Primzahlen als Werte annehmen. 2. Man zerlegt p in eine Summe von drei Quadratzahlen, konstruiert aus dieser Zerlegung einen primen quadratischen Rest und schätzt diesen nach oben ab. Beide Wege werden ausführlich diskutiert. Auch wenn keiner von beiden zum letzten Ziel geführt hat, ist es mit der Zerlegungsmethode immerhin gelungen, diejenigen Primzahlen p zu charakterisieren, die sich einer Abschätzung ihres kleinsten quadratischen Rests widersetzen.

Given a prime p we are looking for the least prime q>2, which is a quadratic non-residue or residue modulo p respectively. Based on the work of Trygve Nagell, it is the purpose of this thesis to provide small upper bounds for q using only elementary methods. It is proved that the least quadratic non-residue q is less than the square root of p. The case of the least quadratic residue is much more complicated: It is proved that the least residue q is less than the square root of p if and only if the class number h(-p) of binary quadratic forms of discriminant -p is greater than 1. Moreover we concentrate on the connection with the class number one theorem of Heegner-Baker-Stark: It follows from a lemma of Nagell that h(-p)=1 if and only if all primes less than (p+1)/4 are quadratic non-residues modulo p. Since it is known that p=163 is the greatest prime with h(-p)=1, we would have an elementary proof of the class number one theorem, if it could be shown for all primes p>163 without class number conditions that the least prime quadratic residue q modulo p is less than (p+1)/4. There are two elementary approaches to achieve this: 1. One tries to show that certain polynomials - e. g. the polynomial of Euler-Rabinowitsch - don't have only prime values in a certain range. 2. One reduces the prime p to a sum of three integer squares. By this reduction one constructs a prime quadratic residue, for which upper bounds are deduced. Both approaches are discussed in detail. Even though neither of them led to our goal, we succeeded anyhow, by the reduction method, in characterizing all primes p, which resist an estimation of its least quadratic residue.