Zur Berechnung von Galoisgruppen globaler Polynome durch Newton-Polygone

Abstract

Wir betrachten ein über einem algebraischen Zahlkörper K irreduzibles Polynom h mit Galois-Gruppe G und dessen Zerlegung über der Komplettierung K_{p} (p eine endliche Primstelle von K). Ziel der Arbeit ist die Bestimmung von G mit Hilfe des Newton-Polygons von h bzgl. p. Wir zeigen unter der (schwachen) Voraussetzung der Regularität den engen Zusammenhang zwischen den lokalen Faktoren von h und ``einfacheren'' globalen Polynomen h_m mit Galois-Gruppe G_m. Die lokalen Faktoren und die Polynome h_m gehören zur selben Seite des Newton-Polygons von h bzgl. p. Das Hauptresultat liefert -mit Hilfe des Newton-Polygons von h- mehr nützliche Informationen zur Bestimmung von G als bisher bekannt. Insbesondere im Falle zahmer Verzweigung zeigen wir, dass G_m isomorph zu einer Untergruppe von G ist. Als Anwendung studieren wir die Galois-Gruppe des Eisenstein-Polynoms h=X^p+taX+a in Z[X] bzgl. p. Verschiedene Autoren haben den Fall t=1 betrachtet. Es ist zum Beispiel bekannt, dass die Galois-Gruppe G von h die symmetrische Gruppe S_p oder die affine Gruppe G= AGL_1(p) ist. Wir verallgemeinern diese Ergebnisse für die Klasse von Polynomen X^p+taX+a (ggT(p,t)=1) und verbessern bisherige Ergebnisse für t=1. So ist etwa G stets die symmetrische Gruppe S_p, falls a ungerade ist. Eine weitere Anwendung des Studiums des Newton-Polygons eines irreduziblen Polynoms h in K[X] liefert ein Primitivitätskriterium von G. Insbesondere Trinome h=X^n+aX^s+b werden hinsichtlich Primitivität ausführlich behandelt.

Given an irreducible polynomial h over an algebraic number field K with Galois group G we consider the factorization of h over the completion K_{p} (p a finite prime of K). We establish under the (weak) assumption of regularity a strong relationship between the local factors of h and `` simpler'' global polynomials h_m with Galois groups G_m. The local factors and the polynomials h_m correspond to the same side of the Newton-polygon of h to p. This result shows that the Newton polygon contains (more) useful information as previously known. Especially in case of tame ramification we prove that G_m is isomorphic to a subgroup of G. As an application we study the Galois group of the Eisenstein polynomial h=X^p+taX+a in Z[X] with respect to p. Various authors studied the case t=1. It is known that the Galois group G of h is the symmetric group S_p or G= AGL_1(p) (the affine group). We generalize these results to the class of polynomials X^p+taX+a ((p,t)=1) and improve previous results for t=1. For example, if a is odd, the Galois group of h is always the symmetric group S_p. An other application of studying the Newton polygon of an irreducible polynomial h in K[X] yields a criterion of primitivity. The case h=X^n+aX^s+b is explicitly discussed in the thesis.