Ein schneller Faltungsalgorithmus für nichtreflektierende Randbedingungen

Abstract

Nichtreflektiernede Randbedingungen für die Ausbreitung von Wellen sind nichtlokal sowohl im Raum als auch in der Zeit. Sie können stetig oder diskret gegeben sein. Hier werden neue diskrete nichtreflektierende Randbedingungen für die zeitabhängige Maxwellgleichung hergeleitet. Mit Hilfe einer Fourier- oder sphährischen Entwicklung in speziellen räumlichen Geometrien, lässt sich die räumliche Nichtlokalität entkoppeln. Um die Faltungen in der Zeit, die weiterhin bei der Berechnung eine hohe Hürde darstellen, auswerten zu können wird hier ein neuer schneller Algorithmus vorgestellt. Dieser benötigt, um die Faltung von N aufeineanderfolgener Zeitschritte zu berechnen einen Aufwand von O(N log (N)) Rechenoperationen und hat einen Speicherbedarf in der Grössenordnung von O(N log (N)). In den numerischen Beispielen, wird dieser Algorithmus verwendet um die Neumann- nach Dirichletabbildung zu diskretisieren, wie sie in rechteckigen Geometrieen bei der Schrödinger- und der Wellengleichung auftritt. Die Stabilität und Konvergenz des Faltungalgorithmus wird im Fall der Schrödingergleichung bewiesen.

Non-reflecting boundary conditions for problems of wave propagation are non-local in space and time. These can be formulated continously or discrete in space. New discrete non-reflecting boundary conditions for the time-dependent Maxwell equation are developed. While the non-locality in space can be efficiently handled by Fourier or spherical expansions in special geometries, the arising temporal convolutions still form a computational bottleneck. In the present dissertation, a new algorithm for the evaluation of these convolution integrals is proposed. To compute a temporal convolution over N successive time steps, the algorithm requires O(N log (N)) operations and O(log (N)) memory. In the numerical examples, this algorithm is used to discretize the Neumann-to-Dirichlet operators arising from the formulation of non-reflecting boundary conditions in rectangular geometries for Schrödinger and wave equations. Stability and convergence of the convoluton algorithm in the Schrödinger case is proven.