Kürzeste konfinale Ketten im Untergruppenverband unendlicher Permutationsgruppen

Abstract

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir konfinale Ketten in unendlichen Permutationsgruppen. Die Konfinalität einer nicht endlich-erzeugbaren Gruppe G ist die kleinste Kardinalzahl $mu$ mit der Eigenschaft, dass man G als Union einer aufsteigend-geordneten Kette von $mu$ vielen echten Untergruppen schreiben kann. Für eine unendliche Kardinalzahl $kappa$ bestimmen wir die Konfinalität der Normalteiler der Sym($kappa$) sowie die verschiedener Stabilisatoren von Teilmengen von $kappa$. Außerdem bestimmen wir die Konfinalität der homomorphen Bilder der Sym($kappa$) und die der homomorphen Bilder ihrer Normalteiler. Ausgehend davon beweisen wir einige allgemeine Aussagen über die Gestalt konfinaler Ketten in der Sym($kappa$) sowie in den anderen betrachteten Gruppen und beschäftigen uns damit, welche Zusammenhänge zwischen verschiedenen konfinalen Ketten bestehen und welchen Bedingungen die in diesen Ketten auftretenden Untergruppen genügen müssen.

In this thesis we study cofinal chains in infinite permutation groups. Given a group G which is not finitely generated, its cofinality is defined to be the least cardinal $mu$ such that G can be expressed as the union of a chain of $mu$ proper subgroups. For an infinite cardinal $kappa$ we determine the cofinality of the normal subgroups of Sym($kappa$) and the cofinality of various stabilizers of subsets of $kappa$. Furthermore we determine the cofinality of the homomorphic images of Sym($kappa$) and of the homomorphic images of the normal subgroups of Sym($kappa$). These results lead to an analysis of the structure of cofinal chains in Sym($kappa$) and in the other groups considered here. We investigate the ways in which different cofinal chains in the same group are related and establish conditions which must be met by groups appearing in such chains.