Anwendung von Techniken aus der Vielteilchenphysik auf kanonisch quantisierte Yang-Mills-Theorien

Abstract

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir Yang-Mills-Theorien in der Weyleichung mit Hilfe des Schroedingerbildes, und untersuchen ob Methoden aus der Vielteilchenphysik auf Yang-Mills-Theorien uebertragen werden koennen. Im ersten Kapitel stellen wir die kanonische Quantisierung der Theorie, in der Arbeit benutzte Variationsprinzipien und einige in der Literatur verwandte Methoden zur Behandlung des Gaussgesetzes kurz vor. Das zweite Kapitel ist dem Projektor auf den physikalischen Unterraum der eichinvarianten Zustaende gewidmet. Wir beginnen mit zwei in der Literatur betrachteten Naeherungsverfahren fuer den Projektor. Dann wenden wir uns einer mean-field Behandlung mittels Gaussscher Wellenfunktionale zu. Wir betrachten, wie das Gaussgesetz stoerungstheoretisch durch Modifikationen des Gaussschen Wellenfunktionals erfuellt werden kann, und zeigen die Grenzen dieses Zugangs auf. Dann wechseln wir den Standpunkt und betrachten, wie man deformierte, d.h. eichvariante, Zustaende im Rahmen des Diracschen Variationsprinzips benutzen kann. Das fuehrt zum in der Kernphysik wohlbekannten cranking-Modell, bei dem die Ankopplung externer Ladungen auf Ein-Schleifen-Niveau jedoch falsch ist. Der letzte Zugang in diesem Kapitel ist die Kamlah-Entwicklung, die in Verbindung mit Stoerungstheorie die Erwartungen an ein projiziertes Energiefunktional erfuellt. Im dritten Kapitel betrachten wir die verallgemeinerte Random Phase Approximation (gRPA). Wir stellen sowohl die auf Diracs Variationsprinzip beruhende Formulierung als auch einen Operatorzugang dar und beweisen, dass unter bestimmten Umstaenden beide Zugaenge dasselbe Spektrum ergeben. Im Operatorzugang koennen Symmetrien der vollen Theorie leichter in die gRPA-Behandlung uebersetzt und Korrekturen zur Energie eines deformierten mean-field-Grundzustands angegeben werden. Wir berechnen diese Energiekorrekturen in Stoerungstheorie in fuehrender Ordnung, und vergleichen sie mit den Energiekorrekturen der Kamlahentwicklung.

In this thesis, we study Yang-Mills theories in the Weyl gauge employing the Schroedinger picture, and investigate whether techniques from many-body physics can be transcribed to Yang-Mills theories. In the first chapter we give a succinct account of the canonical quantization of the theory, the variational principles used in this thesis and approaches followed in the literature to overcome the Gauss law constraint. The second chapter is devoted to the projector onto the physical subspace of gauge invariant states. First, we present two approximation schemes for the projector that have been applied in the literature. Then we turn to a mean-field treatment based on Gaussian wave functionals. We study how the Gauss law constraint can be implemented perturbatively by modifications of the Gaussian wave functional and show the limitations of this approach. Then we change the point of view and consider how one can use 'deformed' or gauge-noninvariant states in Dirac's variational principle. This leads to the cranking model well known from nuclear physics, where, however, the coupling of external charges is incorrect at a one-loop level. The last approach we consider in this chapter is the Kamlah expansion. When combined with perturbation theory, it reproduces nicely what is expected of the projected energy functional. In the third chapter we study the generalized Random Phase Approximation (gRPA). We present both the formulation based on Dirac's variational principle and an operator approach, and prove that under certain circumstances the two formulations give an identical spectrum. In the operator approach, the symmetries of the full theory are more easily translated to the gRPA treatment, and one can determine the corrections to the energy of a deformed mean-field ground state. We evaluate these corrections in leading order perturbation theory and compare them to the corrections of the Kamlah expansion.