Quantenstochastische Analysis mit infinitesimalen Zahlen

Abstract

In dieser Doktorarbeit entwickeln wir einen Zugang zur quantenstochastischen Analysis mithilfe der Nonstandard-Analysis. Die Hauptidee ist, den Toy Fockraum (oder Bébé Fockraum) in einem Nonstandard-Modell zu interpretieren. Zuerst konstruieren wir über dem Einheitsintervall mit Lebesgue-Maß den symmetrischen Maßraum. Der Raum aller quadrat-integrierbaren Funktionen über dem symmetrischen Maßraum ist unser Bild vom Bosonen-Fockraum (oder symmetrischen Fockraum). Mit einer analogen Konstruktion für eine diskrete Zeitlinie mit normiertem Zählmaß erhalten wir den internen symmetrischen Maßraum. Wir definieren eine Standardteil-Abbildung, so daß der zugehörige Loeb-Maßraum über die inverse Standardteil-Abbildung den symmetrischen (Standard-)Maßraum enthält. Jede quadratintegrierbare Standardfunktion (ein Vektor im Fockraum) besitzt ein quadrat-S-integrierbares Lifting im Sinne der Nonstandard-Analysis.

Über die Exponentialvektoren (oder Produktvektoren oder kohärenten Vektoren) führen wir drei Arten der Darstellung eines (Standard-)Fockraum-Operators durch einen internen (nonstandard) Operator ein. Wir zeigen, daß bestimmte Operatoren, operatorwertige Prozeße und Martingale durch einen internen Operator, Prozeß bzw. Martingal dargestellt werden können. Insbesondere geben wir eine Nonstandard-Darstellung der fundamentalen Quanten-Martingale: des Erzeugungs-, Anzahl-, Vernichtungs- und Zeitprozeßes. Für die Zuwächse der Nonstandard-Quanten-Martingale (die Quantenrauschen) beweisen wir eine Multiplikationstabelle, welche beim Übergang in die Standardwelt zur bekannten Tabelle wird. Im sogenannten Kernkalkül der quantenstochastischen Analysis lösen wir eine quantenstochastische Differentialgleichung mit nichtlinearen Koeffizientenfunktionen bei den Rauschentermen. Dafür nehmen wir die Lösung der entsprechenden hyperendlichen Differenzengleichung und zeigen, daß der Standardteil dieser Lösung die quantenstochastische Differentialgleichung erfüllt.

In this doctoral thesis we develop an infinitesimal approach to quantum stochastic calculus using nonstandard analysis. The idea is to interpret the toy Fock space (or bébé Fock space) in a nonstandard model. We start with the unit interval given the Lebesgue measure and construct the symmetric measure space over it. The space of all square integrable functions on the symmetric measure space is our version of the Boson Fock space (or symmetric Fock space). Copying the construction of the symmetric measure space for a discrete time-line with normalized counting measure we get an internal symmetric measure space. We define an appropriate standard part map such that the corresponding Loeb measure space contains the standard symmetric measure space via the inverse standard part map. Then every square integrable standard function (a vector in the Fock space) has a square S-integrable lifting in the sense of nonstandard analysis.

Using the concept of exponential vectors (or product vectors or coherent vectors) we introduce three kinds of representation of a standard Fock space operator by an internal (nonstandard) operator. We show that certain operators, operator valued processes and martingales can be represented by an internal operator, process, respectively martingale. In particular, we give a nonstandard representation of the fundamental quantum martingales: the creation, number, annihilation and time martingale. For the increments of the nonstandard quantum martingales (the quantum noises) we prove a multiplication table which is the standard one going back to the standard world. In the so-called kernel picture of quantum stochastic calculus we solve a quantum stochastic differential equation with non-linearity in the noise terms. For that we only take the standard part of the solution of the corresponding hyperfinite difference equation and show that this standard part solves the quantum stochastic differential equation.