Entwicklung und Untersuchung von Moving Least Square Verfahren zur numerischen Simulation hydrodynamischer Gleichungen

Abstract

Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung und Erprobung neuer Verfahren zur numerischen Lösung der hydrodynamischen Gleichungen. Der generelle Ansatz der untersuchten Verfahren basiert auf einer funktionellen Approximation, welcher die Moving Least Square Methode zugrunde liegt. Mit diesen Approximationen werden nun diskrete Gleichungen aufgestellt, sowohl in Eulerscher als auch Lagrangescher Beschreibungsweise einer Strömung. Die praktische Umsetzung und Erprobung der gefundenen Diskretisierungen erfolgt anhand einfacher Testbeispiele.

Im ersten Teil der Arbeit werden die durch die Moving Least Square Methode erhaltenen Approximationen auf wichtige Eigenschaften untersucht. Die wohl wichtigste Eigenschaft betrifft die Basisfunktionen bezüglich derer eine Funktion entwickelt wird. Es stellt sich heraus, daß die Basisfunktionen exakt approximiert werden. Diese Tatsache begründet die Konsistenz der folgenden Verfahren. Im zweiten Teil der Arbeit wird die Moving Least Square Methode und die daraus folgenden Diskretisierungen in drei unterschiedlichen Verfahren vorgestellt. Bei diesen handelt es sich um ein Kollokationsverfahren, ein Galerkin-Verfahren und ein Lagrangesches Verfahren. Im Kollokationsverfahren werden die Moving Least Square Approximationen direkt auf die Funktionen in den vorliegenden Differentialgleichungen angewandt. Die Ergebnisse entsprechen dem eines Verfahrens mit Finiten Differenzen. Im Galerkin-Verfahren findet die schwache Formulierung einer Differentialgleichung Verwendung. Bei den gefundenen Diskretisierungen der hydrodynamischen Gleichungen ergeben sich Erhaltungssätze für Gesamtmasse, Gesamtimpuls und Gesamtenergie. Im Lagrangeschen Verfahren besitzen die Stützstellen eine explizite Zeitabhängigkeit. Damit ergeben sich Erhaltungssätze für die Masse einer Stützstelle sowie für Gesamtimpuls und Gesamtenergie, so daß dieses Verfahren als ein Teilchenverfahren interpretiert werden kann.

The objective of this thesis is to develop and test new procedures for the numerical treatment of the hydrodynamic equations. The general approach to the studied procedures is based on a functional approximation underlain by the Moving Least Square method. With these approximations, discrete equations are set up, both in Eulerian and Lagrangian description. The practical implementation and testing of the deduced discretisations is carried out by means of simple test cases.

In the first part of this thesis, the approximations obtained by the Moving Least Square method are examined for important characteristics. The probably most important characteristic concerns the basis functions with respect to which a function is expanded. It turns out that the basis functions are exactly approximated. This fact justifies the consistency of the following schemes. In the second part of this thesis, the Moving Least Square method and the discretisations resulting from it are presented in three different kinds of schemes. These include a collocation scheme, a Galerkin scheme and a Lagrangian scheme. In the collocation scheme, the Moving Least Square approximations are directly applied to the functions in the considered differential equations. The results correspond to those of a scheme using finite differences. In the Galerkin scheme, the weak formulation of a differential equation is applied. Considering the deduced discretisations of the hydrodynamic equations, conservation laws for the total mass, the total momentum and the total energy are obtained. In the Lagrangian scheme the nodes have an explicit time dependency. Thus conservation laws for the mass of a single node as well as for the total momentum and total energy are obtained. This scheme can therefore be interpreted as a particle method.