Klassifikationen fahnentransitiver Steiner Designs

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URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:21-opus-2753
http://hdl.handle.net/10900/48178
Dokumentart: Dissertation
Date: 2001
Language: German
Faculty: 7 Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Department: Sonstige - Mathematik und Physik
Advisor: Hering, Christoph
Day of Oral Examination: 2001-07-06
DDC Classifikation: 510 - Mathematics
Keywords: Diskrete Mathematik
Other Keywords: Steiner Design , Steinerquadrupelsystem , fahnentransitive Automorphismengruppe, 2-fach transitive Permutationsgruppen
Steiner design , Steiner quadruple system , flag-transitive automorphism group, 2-transitive permutation groups
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Inhaltszusammenfassung:

In den letzten Jahrzehnten wurden mit großem Interesse Steiner t-Designs mit gewissen Transitivitätseigenschaften klassifiziert. Beispielsweise charakterisierte W. M. Kantor alle 2-fach punkttransitiven und F. Buekenhout et al. alle fahnentransitiven Steiner 2-Designs. Beide Resultate benötigen die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Jedoch ist die Klassifikation fahnentransitiver Steiner 3-Designs ein noch immer ungelöstes Problem und das der 2-fach punkttransitiven erscheint als hoffnungslos. In der vorliegenden Dissertation werden wir unter Zuhilfenahme der Klassifikation der endlichen 2-fach transitiven Permutationsgruppen alle fahnentransitiven Steiner 3-Designs mit kleinen Blöcken klassifizieren. Im ersten Kapitel legen wir die Grundlagen: Kombinatorische Eigenschaften von Designs, die Klassifikation der endlichen 2-fach transitiven Permutationsgruppen und den Satz von Zsigmondy. Im darauf folgenden Kapitel beweisen wir, dass für Steiner t-Designs mit t größer als 2, die Fahnentransitivität der Automorphismengruppe bereits deren 2-fache Punkttransitivität impliziert. Im dritten Kapitel klassifizieren wir alle fahnentransitiven Steiner 3-Designs mit Blockgröße 4, eine Verallgemeinerung eines Resultats von H. Lüneburg. Im vierten Kapitel geben wir schließlich die vollständigen Klassifikationen fahnentransitiver Steiner 3-Designs mit den Blockgrößen 5,6 und 7 an.

Abstract:

In the last decades, there has been a great interest in classifying Steiner t-designs with certain transitivity properties. For example, W. M. Kantor characterized all point 2-transitive and F. Buekenhout et al. all flag-transitive Steiner 2-designs. Both results depend on the classification of the finite simple groups. However, the classification of flag-transitive Steiner 3-designs is a still open and longstanding problem and that of point 2-transitive seems to be hopeless. In this dissertation we use the classification of finite 2-transitive permutation groups to classify all flag-transitive Steiner 3-designs with small blocks. In Chapter 1 we lay the foundations: combinatorial properties of designs, the classification of the finite 2-transitive permutation groups and Zsigmondy's theorem. In the following chapter, we prove that for Steiner t-designs with t greater than 2, the flag-transitivity of the automorphism group implies its point 2-transitivity. In Chapter 3, we classify all Steiner 3-designs with block size 4, generalizing a result of H. Lüneburg. In Chapter 4, we finally give the complete classifications of flag-transitive Steiner 3-Designs with block sizes 5,6 and 7.

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