Glatte projektive Ebenen, glatte verallgemeinerte Vierecke und isoparametrische Hyperflächen

Abstract

This thesis consists of two parts, which are joined by a common principle: the characterization of smooth incidence structures by (differential-)topological conditions.

In the first part, we investigate smooth generalized quadrangles and isoparametric hypersurfaces with four distinct principal curvatures in spheres. In Chapter 1, we characterize generalized quadrangles which have certain smoothness properties by implicit differential-topological conditions. In particular, we give criteria for a generalized quadrangle to be smooth. In Chapter 2 we apply our results to a special situation in differential geometry: by results of Ferus, Karcher and MŸnzner a large class of isoparametric hypersurfaces in spheres arises from real representations of Clifford algebras. Thorbergsson proved that the incidence structures associated with these hypersurfaces and their focal manifolds are generalized quadrangles. In Chapter 2 we give an explicit proof for the smoothness of these generalized quadrangles. In Chapter 3 we prove the general result that incidence structures associated with isoparamatric hypersurfaces with four distinct principal curvatures in spheres are generalized quadrangles. In order to get a deeper insight into the geometry of isoparametric hypersurfaces and their focal manifolds, we make essential use of the theory of isoparametric triple systems developed by Dorfmeister und Neher. Incidentally, we obtain further new results on the geometry of these hypersurfaces.

In the second part of this thesis we investigate smooth projective planes. In Chapter 4 we characterize smooth stable and smooth projective planes in terms of submersion and transversality. In Chapter 5 we construct examples of non-classical, real analytic (even Nash) projective planes in dimensions 2, 4 and 8. Moreover, we show that these planes admit large automomorphism groups which are compact Lie groups.

Diese Dissertation besteht aus 2 Teilen, die durch ein gemeinsames Prinzip verbunden sind: die Charakterisierung glatter Inzidenzstrukturen durch (differential-)topologische Bedingungen.

In Teil 1 untersuchen wir glatte verallgemeinerte Vierecke und isoparametrische Hyperflächen. In Kap. 1 charakterisieren wir verallgemeinerte Vierecke, die gewisse Glattheitseigenschaften besitzen, durch implizite differentialtopologische Bedingungen. Insbesondere geben wir Kriterien für die Glattheit verallgemeinerter Vierecke an. In Kap. 2 wenden wir diese Resultate auf eine spezielle Situation in der Differentialgeometrie an: Nach Resultaten von Ferus, Karcher und Münzner läßt sich eine große Klasse isoparametrischer Hyperflächen mittels reeller Darstellungen von Clifford Algebren beschreiben. Nach einem Resultat von Thorbergsson sind die Inzidenzstrukturen, die mit diesen Hyperflächen und ihren Fokalmannigfaltigkeiten assoziiert sind, verallgemeinerte Vierecke. In Kap. 2 beweisen wir die Glattheit dieser verallgemeinerten Vierecke explizit. In Kap. 3 beweisen wir in voller Allgemeinheit, daß Inzidenzstrukturen, die mit isoparametrischen Hyperflächen mit vier verschiedenen Hauptkrümmungen in Sphären assoziiert sind, verallgemeinerte Vierecke sind. Um ein besseres Verständnis für die Geometrie isoparametrischer Hyperflächen iund ihrer Fokalmannigfaltigkeiten zu gewinnen, verwenden wir die von Dorfmeister und Neher entwickelte Theorie isoparametrischer Tripelsysteme. In diesem Zusammenhang erhalten wir weitere neue Resultate über die Geometrie dieser Hyperflächen.

Im zweiten Teil untersuchen wir glatte projektive Ebenen. In Kap. 4 charakterisieren wir glatte stabile und projektive Ebenen mittels differentialtopologischer Bedingungen. In Kap. 5 konstruieren wir Beispiele nicht-klassischer, reell analytischer projektiver Ebenen in den Dimension 2, 4 und 8. Ferner beweisen wir, daß diese Ebenen große kompakte Liegruppen als Automorphismengruppen zulassen.