Erweiterungen der Methode der Finiten Massen

Abstract

Die Simulation von Gasströmungen ist sowohl für eine Vielzahl technischer Anwendungen als auch für unser Verständnis vieler natürlicher Zusammenhänge, beispielsweise in Klimaforschung oder Astrophysik, von elementarer Bedeutung.

Die Methode der Finiten Massen ist ein neues Lagrangesches Verfahren zur Simulation von kompressiblen Fluiden. Im Gegensatz zu den populären Finite-Volumen- oder Finite-Differenzen-Verfahren, beruht sie auf der Diskretisierung der Masse statt des Raumes. Die strömende Masse wird in kleine, sich überlappende Pakete zerlegt, die sich unabhängig voneinander bewegen und linear deformieren können. Deren innere Masseverteilung wird durch eine vorgegebene Formfunktion festgelegt. Diese Pakete modellieren nicht nur das mechanische System, sondern auch die thermodynamischen Zusammenhänge. Die Evolutionsgleichungen ergeben sich aus inneren und äußeren Kräften und unter Berücksichtigung der Gesetze der Thermodynamik. Die Kräfte gehen nicht auf die Euler- oder Navier-Stokes-Gleichungen, sondern auf die physikalischen Grundprinzipien wie Erhaltung von Masse, Impuls und Energie zurück. Einerseits hat diese Methode aufgrund der linearen Deformierbarkeit der Teilchen ein großes Potential, um genaue Approximationen von Flüssen zu liefern, andererseits führt dieser Ansatz möglicherweise zu extremen Verformungen der Massenpakete, beispielsweise zu langen spitzen Nadeln. Bei großer Länge sind diese oft nicht mehr geeignet, gekrümmten Flüssen zu folgen.

In dieser Arbeit werden Ansätze präsentiert, eine Rechnung in einer solchen Situation weiterzuführen. Die zentrale Idee ist, einen gegebnenen physikalischen Zustand, der durch stark deformierte Teilchen repräsentiert wird, durch neue undeformierte Teilchen darzustellen. Mit Hilfe dieser neuaufgesetzten Rechnung kann die Simulation dann fortgesetzt werden. Durch diesen auch als Restart bezeichneten Prozeß ergibt sich eine Erweiterung des Anwendungsbereiches der Methode der Finiten Massen.

The simulation of gas flows is important for a huge variety of technical applications as well as for a deeper insight in natural phenomena, for example in climatology and astrophysics.

The finite mass method is a new Lagrangean method for simulating compressible fluid flows. In contrast to the popular finite volume and finite difference methods, the finite mass method is based on a discretization of mass, not of space. The mass of the flow is subdivided in small, overlapping packets, which can move independently and can deform linearly. The internal mass distribution is given by a prescribed form function. These packets not only model the mechanical system, they also include the thermodynamical context. The equations of time evolution result from internal and external forces respecting the laws of thermodynamics. These forces are not based on the Euler or Navier-Stokes equations, they have their origins in the basic physical principles as conservation of mass, momentum and energy. On the one hand, this method has a huge potential for precise approximations of flows due to the linear deformation of the particles, on the other hand, these degrees of freedom possibly lead to extreme deformations of the mass packets, for example they become long sharp needles. With big length, they often are not suitable to follow curved flows.

In this work, some concepts for the continuation of the simulation are presented. New, undeformed particles are used to approximate a given physical state. The simulation based on these new particles is used for the continuation. This restarting procedure allows to widen the range of problems which can be tackled by the finite mass method.