A discrete Clark-Ocone formula

Abstract

In diesem Artikel wird das Analogon des Malliavin-Kalküls für eine diskrete endliche Zeitachse entwickelt. Es werden Braunsche Bewegung als Bernuolli Irrfahrt und daraus ein weisses Rauschen als Ableitung der Braunschen Bewegung definiert. Mit dem diskreten Wickprodukt auf den Zufallsvariablen werden Skorohod-Integral, Malliavin-Ableitung und Malliavin-Divergenz eingeführt. Alle Eigenschaften der kontinuierlichen Theorie spiegeln sich auch im diskreten wieder. Zum Schluss wird eine diskrete Version der Clark-Ocone-Formel bewiesen.

In this article I develop the analogon of the Malliavin calculus for a discrete finite timeline. The Brownian motion is defined as a Bernoulli random walk and the white noise becomes the derivative of the Brownian motion. With the aid of the discrete Wick product of random variables I define the Skorohod integral, the Malliavin derivative and the Malliavin divergence. Every property of the continuous time theory is mirrored in the discrete time theory. At the end I prove a discrete version of the Clark-Ocone formula.