On the Application of Mellin Transforms in the Theory of Option Pricing

Abstract

This thesis is concerned with the application of the Mellin integral trans- form to specific problems in the theory of option pricing. We study both, initial-boundary and free-boundary problems. The resulting partial differential equations characterize European and American Options. Options which can only be exercised at maturity date are called European. In contrast, American options give the holder the right to exercise the contract at any time until or at the option's exercise date. The simple additional feature of early exercise makes the valuation of American options substantially more complicated. By means of the new integral transform we are able to price both types of contracts analytically. The last part of the dissertation extends the new framework to a price process with a stochastic volatility component, the Heston model. In addition to an analytical description of the solutions, we propose and implement numerical procedures for pricing and hedging purposes.

Die Dissertation befaßt sich mit der Anwendung der Mellin Integral-Transformation auf ausgewählte Probleme aus der Optionspreistheorie. Es werden sowohl initial-boundary als auch free-boundary-Probleme studiert. Die entsprechenden partiellen Differentialgleichungen charakterisieren sowohl europäische Derivate, die nur bei Fälligkeit ausgeübt werden können, als auch amerikanische Derivate, die dem Inhaber die Möglichkeit einer vorzeitigen Ausübung garantieren. Die Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung erschwert die analytische Bepreisung signifikant. Mit Hilfe der neuen Transformation werden für beide Derivatetypen analytische Lösungen hergeleitet. Im letzten Teil der Dissertation wird die neue Methodik auf einen Preisprozess mit einer stochastischen Volatilität, das Heston-Modell, ausgedehnt. Zusätzlich zur analytischen Beschreibung der Lösungen werden numerische Verfahren zur expliziten Bestimmung von Preisen und Hedging-Parametern vorgeschlagen und umgesetzt.