Plancherel Convergence and Zeta Functions

Abstract

Zwei der meiststudierten metrischen Invarianten einer glatten kompakten hyperbolischen Fläche sind das Laplace-Spektrum and das Längenspektrum. Während das Längenspektrum zumindest für einzelne arithmetische Flächen bekannt ist, kann das Laplace-Spektrum normalerweise nur mittels numerischer Methoden ausgearbeitet werden. Aus diesem Grund versucht man stattdessen das asymptotische Verhalten des Laplace-Spektrums zu beschreiben. In dieser Arbeit soll es um die sogenannte Plancherel-Konvergenz hyperbolischer Flächen gehen. Eine Folge hyperbolischer Flächen heißt Plancherel-konvergent, wenn die Eigenwertverteilung dieser Flächen gegen das Plancherel-Maß der speziellen linearen Gruppe SL(2,R) konvergiert. Diese Konvergenz hat Konsequenzen für die geometrisch definierten Selberg Zeta-Funktionen, die mit diesen Flächen assoziiert sind. Es wird insbesondere die Wechselwirkung zwischen Plancherel- Konvergenz und Konvergenz der Zeta-Funktionen näher beleuchtet.