Lindenbaumsätze für deduktive Systeme

Abstract

In der Diplomarbeit "Lindenbaumsätze für deduktive Systeme" wird die Äquivalenz verschiedener Versionen des Satzes von Lindenbaum, alle äquivalent zum Auswahlaxiom, ohne Rückgriff auf dieses Axiom gezeigt. Dies wird durch die Angabe spezieller Konstruktionen für deduktive Systeme erreicht, mit deren Hilfe sich das Gelten des Satzes von Lindenbaum von einem Typ deduktiver Systeme auf andere Typen direkt übertragen läßt. Im zweiten Teil der Arbeit wir das analoge Problem für Lindenbaumsätze äquivalent zum Boolschen Primideal Theorem diskutiert. Die Arbeit wird komplementiert mit einigen Gedanken zum zugrundeliegenden philosophischen Problem, geeignete Beweise von solchen zu unterscheiden, die auf das Auswahlaxiom zurückgreifen.

Central topic of the diploma thesis "Lindenbaumsätze für deduktive Systeme" is the (mathematical) problem raised by D.W. Miller to re-prove the well-known equivalences of some versions of Lindenbaum's Theorem for deductive systems (each equivalent to the Axiom of Choice) without an application of this axiom. For this purpose, we introduce several special constructions for deductive systems, each of them permitting to carry over Lindenbaum's Theorem from one type of deductive system to another type without a detour to the Axiom of Choice. In the second part of the diploma thesis, the analogous problem is discussed with respect to versions of Lindenbaum's Theorem equivalent to the Boolean Prime Ideal Theorem. The mathematical investigations are complemented with the consideration of the inherent philosophical problem of distinguishing proofs involving the Axiom of Choice from the intended proofs.