Diffusion of regular domains in Riemannian manifolds

Abstract

Wir betrachten Lösungen der Wärmeleitungsgleichung in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, deren Anfangswerte durch charakteristische Funktion regulärer Mengen gegeben sind. Für kurze Zeiten sind Lösungen derartiger Gleichungen durch die Geometrie des Randes der Anfangsmenge bestimmt. Andererseits kann auch die Geometrie des Randes durch Lösungen derartiger Gleichungen charakterisiert werden. Um dies zu zeigen, untersuchen wir das Verhalten verschiedener Quantitäten der Lösung der Wärmeleitungsgleichung für kurze Zeiten. Unter anderem leiten wir, in Potenzen des Zeitparameters, die asymptotische Entwicklung des Wärmeverlustes her. Wir zeigen, dass die ersten drei Koeffizienten dieser Entwicklung durch geometrische Invariante des Randes gegeben sind. Die hergeleiteten Formeln sind gleichmäßiger Natur; auf Zeitintervallen, die von der Geometrie der umgebenden Mannigfaltigkeit und des Randes abhängen, erhalten wir uniforme Abschätzungen an den Fehlerterm. Für mögliche Anwendungen kann dies ausschlaggebend sein.