Higher Order Semiclassical Approximations for Hamiltonians with Operator-Valued Symbols

Abstract

Wir betrachten ein quantenmechanisches System, welches durch einen Hamiltonoperator auf einem Hilbertraum beschrieben wird, wobei der Hamiltonoperator als Weyl-Quantisierung eines operatorwertigen Symbols gegeben ist. Mit einem isolierten, nicht-entarteten Eigenwert des Weyl-Symbols des Hamilton Operators und dem entsprechenden Eigenbündel assoziieren wir einen fast-invarianten Unterraum sowie ein neuartiges ε-abhängiges klassisch Hamiltonsches System, welches, bis auf Quantenkorrekturen, Erwartungswerte im thermodynamischen Gleichgewicht sowie die quantenmechanische Evolution von Observablen eingeschränkt auf den fast-invarianten Unterraum bis auf Fehler der dritten Ordnung in ε approximiert. Die symplektische Form des Hamiltonschen Systems ist durch die Krümmungsform eines neuartigen Zusammenhangs gegeben, welcher eine Modifikation der Ordnung ε des bekannten Berry-Zusammenhangs ist. Des Weiteren ist die Krümmungsform dieses modifizierten Berry-Zusammenhangs der Imaginärteil des modifizierten quantengeometrischen Tensors, dessen Realteil eine Fubini-Study-Metrik auf dem Phasenraum definiert, welche wiederum eine wichtige Rolle bei der Approximation von Gleichgewichtserwartungswerten spielt. Außerdem leiten wir erstmals semiklassische Approximationen von Gleichgewichtserwartungswerten im fast-invarianten Unterraum zu beliebiger Ordnung in ε her und können erstmals ein Egorov-Theorem zu beliebiger Ordnung für nicht-trivialisierbare Eigenbündel zeigen. Unsere Ergebnisse wenden wir auf Quantensysteme vom Born-Oppenheimer-Typ und magnetische Blochbänder im Hofstadter-Modell an, leiten semiklassische Approximationen zweiter Ordnung der freien Energie und die magnetische Suszeptibilität für magnetische Blochbänder her, konstruieren einen numerischen Algorithmus zur Approximation der Zeitevolution von quantenmechanischen Erwartungswerten und validieren diesen Algorithmus am Beispiel eines Hamiltonoperators vom Born-Oppenheimer-Typ mit matrixwertigem Symbol.

We consider a quantum system represented by a Hamiltonian acting on a Hilbert space where the Hamiltonian is given as the Weyl-quantization of an operator-valued symbol. With an isolated, non-degenerate eigenvalue of the Hamiltonian’s Weyl-symbol and the respective eigenbundle we associate an almost-invariant subspace as well as a novel ε-dependent classical Hamiltonian-system which, up to quantum corrections, approximates expectation values in thermodynamic equilibrium as well as the quantum mechanical evolution of observables restricted to the almost-invariant subspace to errors of third order in ε. The symplectic form of the Hamiltonian system is given through the curvature form of a novel connection that is an ε-modification of the famous Berry connection. Furthermore, the curvature form of the modified Berry connection is the imaginary part of the modified quantum geometric tensor. The real part of modified quantum geometric tensor defines a Fubini-Study-metric on phase space that plays an important role in the approximation of equilibrium expectations. Moreover, we derive semiclassical approximations of equilibrium expectation in the almost-invariant subspace to arbitrary order in ε for the first time and are the first to show an Egorov-type theorem to arbitrary order for non-trivializable eigenbundles.

We apply our results to quantum systems of Born-Oppenheimer type and magnetic Bloch-bands in the Hofstadter-model, derive second order semiclassical approximations of the free energy per unit area and the magnetic susceptibility for magnetic Bloch-bands, construct a numerical algorithm to approximate the time-evolution of quantum-mechanical expectation values and validate the algorithm on an example of a Born-Oppenheimer type Hamiltonian with matrix-valued symbol.