Enumerative aspects of Tropical Geometry: Curves with cross-ratio constraints and Mirror Symmetry

Abstract

In der Dissertation geht es um abzählende Probleme, die mittels tropischer Geometrie gelöst werden. Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile.

Teil 1 basiert auf den Veröffentlichungen und Vorveröffentlichungen des Autors. In diesem Teil geht es hauptsächlich um das Zählen tropischer rationaler Kurven in der Ebene und im Raum, die Punktbedingungen und sogenannten tropischen cross-ratio Bedingungen genügen. Die letztgenannte Bedingung ist innerhalb der algebraischen Geometrie wohlbekannt. Mikhalkin führte ein Analogon dieser Bedingung innerhalb der tropischen Geometrie ein. Tyomkin bewies einen Korrespondenzsatz, der zeigt, dass das Zählen von tropischen rationalen Kurven in torischen Varietäten das Resultat der analogen algebraisch-geometrischen Zählung zum Ergebnis hat. Die tropischen cross-ratio Bedingungen werden in der Dissertation erstmalig mittels tropischer Schnitttheorie auf tropischen Modulräumen untersucht. Dies ermöglicht es, in Kombination mit Tyomkins Korrespondenzsatz, eine Antwort auf grundlegende Zählprobleme von cross-ratios und algebraischen rationalen Kurven zu geben. Die Resultate des ersten Teils sind unter anderem:

1. Eine rekursive Formel zur Bestimmung der Anzahl algebraischer rationaler Kurven in der projektiven Ebene von festem Grad, die allgemeine Punktbedingungen und cross-ratio Bedingungen erfüllen. Ein Spezialfall dieser Formel ist die berühmte Kontsevichformel zum rekursiven Zählen algebraischer rationaler Kurven in der projektiven Ebene von festem Grad, die durch gegebene allgemeine Punktbedingungen festgehalten werden.

2. Ein Algorithmus zur expliziten Konstruktion von tropischen rationalen Kurven in der Ebene, die gewissen Punktbedingungen und tropischen cross-ratio Bedingungen genügen. Dieser Algorithmus erweitert den bekannten lattice path Algorithmus.

3. Übertragung der floor diagram Technik auf tropische Kurven mit cross-ratio Bedingungen. Dies ermöglicht es die gewünschten algebraischen rationalen Kurven im 3-dimensionalen projektiven Raum mittels kombinatorischer Objekte, sogenannter cross-ratio floor diagrams, zu zählen.

Teil 2 der Dissertation basiert auf den Veröffentlichungen und Vorveröffentlichungen, die in Zusammenarbeit des Autors mit Janko Böhm und Hannah Markwig entstanden. Sogenannte descendant Gromov-Witten invariants einer elliptischen Kurve E und sogenannte Gromov-Witten invariants einer Fläche bestehend aus dem Produkt von E und der projektiven Geraden lassen sich mittels Korrespondenzsätzen in tropische Zählprobleme übersetzen. Im zweiten Teil der Dissertation geht es hauptsächlich darum die zu diesen tropischen Zählproblemen gehörenden Erzeugendenfunktionen durch sogenannte Feynman Integrale auszudrücken, die ebenfalls formale Reihen sind. Der Zusammenhang zwischen Feynman Integralen und solchen Erzeugendenfunktionen wird als tropical mirror symmetry bezeichnet. Ihn zu verstehen ist wünschenswert, da Koeffizienten von Feynman Integralen per Computeralgebrasystem berechnet werden können und sich das ursrüngliche Zählproblem so lösen lässt. Die Resultate des zweiten Teils sind unter anderem:

1. Eine tropical mirror symmetry Relation elliptischer Kurven für descendant Gromov-Witten invariants, die bisherige Resultate der tropical mirror symmetry, die sich auf sogenannte Hurwitz numbers beschränken, verallgemeinert.

2. Aus der Physik ist bekannten, dass Resultate der mirror symmetry einer elliptischen Kurve per Fock spaces bewiesen werden können. Im Fall von Hurwitz numbers einer elliptischen Kurve wird gezeigt, dass tropical mirror symmetry ebenfalls per Fock spaces beweisen werden kann. Das Vorgehen ist inspiriert von demjenigen von Cavalieri, Johnson, Markwig und Ranganathan.

3. Ein Satz über tropical mirror symmetry für Erzeugendenfunktionen von Gromov-Witten invariants von dem Produkt von E und der projektiven Geraden wird gezeigt. Interessanterweise erinnert er an Dijkgraafs berühmten Satz der mirror symmetry elliptischer Kurven, da sich nur die Graphen, über die in Dijkgraafs Satz summiert wird, ändern.

4. Sowohl im Fall einer elliptischen Kurve also auch im Fall obiger Fläche werden neue Resultate zur Quasimodularität spezieller verfeinerter Feynman Integrale gezeigt.